Teorema di Carnot o teorema del coseno o teorema di Pitagora generalizzato. Formula e dimostrazione

Teorema di Carnot o teorema del coseno o teorema di Pitagora generalizzato

Teorema di Carnot o teorema del coseno o teorema di Pitagora generalizzato, afferma che in ogni triangolo △ABC esistono queste tre relazioni tra le lunghezze dei lati a, b e c ed il coseno degli angoli ∠A, ∠B e ∠C:

• a² = b² + c² - 2 × b × c × cos(∠A)
• b² = a² + c² - 2 × a × c × cos(∠B)
• c² = a² + b² - 2 × a × b × cos(∠C)
• Dove:
• a = il lato del triangolo opposto all'angolo ∠A
• b = lato del triangolo opposto all'angolo ∠B
• c = lato del triangolo opposto all'angolo ∠C

È chiamato anche teorema di Pitagora generalizzato perché vale per tutti i triangoli. Quando l'angolo ∠A, ∠B, o ∠C è un angolo retto, cos(90°) = 0, facendo scomparire la parte extra e abbandonando il classico teorema di Pitagora:

• a² = b² + c²
• b² = a² + c²
• c² = a² + b²

» Teorema di Pitagora, dimostrazione con l'uso di un quadrato

• Dimostrazione del Teorema di Carnot

• In qualunque triangolo △ABC, che non sia rettangolo, con i lati BC = a, AC = b e AB = c, traccia dal vertice A la perpendicolare al lato BC, che interseca BC nel punto D. Le lunghezze dei lati: AD = h_a, BD = a1 e CD = a2, dove a1 + a2 = a.
• 

  Dimostrazione del Teorema di Carnot

Nel triangolo rettangolo △ABD abbiamo le seguenti relazioni trigonometriche:

Nel triangolo rettangolo △ADC applica il Teorema di Pitagora:

Sostituisci h_a e a1 nella formula sopra:

Nel triangolo rettangolo △ABD applica il Teorema di Pitagora:

Sostituisci ^{(h_a2 + a12)}/_c² nell'ultima formula di b²:

Tracciando le perpendicolari h_b eh_c agli altri due lati del triangolo potremmo dimostrare, allo stesso modo, anche le altre due relazioni del Teorema di Carnot.

• Quando utilizzare questo teorema

• Il Teorema di Carnot può essere utilizzato per:
• 1. Trovare la lunghezza sconosciuta di un lato di un triangolo se conosciamo le lunghezze degli altri due lati e la misura dell'angolo opposto.
• 2. Trovare la misura sconosciuta di un angolo in un triangolo conoscendo tutte e tre le lunghezze dei lati
• Per fare ciò, riscrivi il Teorema di Carnot per evidenziare il coseno dell'angolo, quindi applica la funzione arccos per entrambi i lati dell'uguaglianza.
• Poiché cos e arcocos sono funzioni inverse, arccos(cos(∡B)) = ∡B:

» Coseno e Arcocoseno in un triangolo rettangolo

Lo stesso procedimento potrebbe essere utilizzato per dimostrare le formule per le misure degli altri due angoli, ∠A e ∠C.

• Esempi di calcoli

• L'esempio 1: Calcolo della lunghezza del lato dati l'angolo opposto e gli altri due lati
• In un triangolo in cui sono date le lunghezze di due lati, a = 5, c = 7, e la misura dell'angolo compreso tra loro è ∡B = 54°, calcoliamo la lunghezza del lato b:
• Inserisci i dati forniti in una delle tre equazioni del Teorema di Carnot.
• Utilizza una calcolatrice per calcolare la funzione cos(54°).
• b² = 5² + 7² - 2 × 5 × 7 × cos(54°) = 74 - 70 × 0,5877852522925 = 74 - 41,144967660475 = 32,855032339525
• La radice quadrata di b² = 32,855032339525 => b = 5,7319309433667 ≈ 5,73
• L'esempio 2: Calcolo della misura di un angolo conoscendo tutte e tre le lunghezze dei lati
• In un triangolo in cui le lunghezze dei lati sono a = 5, b = 5,73 e c = 7, calcoliamo la misura dell'angolo ∠B:
• Inserisci i dati forniti in una delle tre equazioni riorganizzate per angoli del Teorema di Carnot.
• Ricordiamo: a² - b² = (a + b) × (a - b).
• Utilizza una calcolatrice per calcolare la funzione arccos().
• m(∡B) = arccos(^{(52 + 72 - 5,732)} / _{(2 × 5 × 7)}) = arccos(^{(25 + (7 + 5,73) × (7 - 5,73)} / ₇₀) = arccos(^{(25 + 12,73 × 1,27)} / ₇₀) = arccos(⁴¹ / ₇₀) = arccos(0,5881014285714) = 53,977604748002° ≈ 53,98°.