Teorema di Carnot o teorema del coseno o teorema di Pitagora generalizzato

Teorema di Carnot o teorema del coseno o teorema di Pitagora generalizzato

Teorema di Carnot o teorema del coseno o teorema di Pitagora generalizzato afferma che in qualsiasi triangolo △ABC abbiamo queste tre relazioni tra le lunghezze dei lati a, b e c e il coseno degli angoli ∠A, ∠B o ∠C:

• a² = b² + c² - 2 × b × c × cos(∠A)
• b² = a² + c² - 2 × a × c × cos(∠B)
• c² = a² + b² - 2 × a × b × cos(∠C)
• Dove:
• a = il lato del triangolo opposto all'angolo ∠A
• b = il lato del triangolo opposto all'angolo ∠B
• c = il lato del triangolo opposto all'angolo ∠C

È detto anche teorema di Pitagora generalizzato perché vale per tutti i triangoli. Quando l'angolo ∠A, ∠B o ∠C è un angolo retto cos(90°) = 0, facendo scomparire la parte extra e lasciando il classico - Il teorema di Pitagora:

• a² = b² + c²
• b² = a² + c²
• c² = a² + b².

• Perché questa formula? Dimostrazione del teorema del coseno

• In un qualunque triangolo △ABC, che non sia rettangolo, con i lati BC = a, AC = b e AB = c, tracciamo dal vertice A la perpendicolare al lato BC, che interseca BC nel punto D. Notiamo le lunghezze dei lati AD = h_a, BD = a1 e CD = a2, dove a1 + a2 = a.
• 

  Dimostrazione del teorema del coseno

• Nel triangolo rettangolo △ABD abbiamo le seguenti relazioni trigonometriche: