Coseno e arcocoseno in un triangolo rettangolo

Coseno e Arcocoseno. Cosa sono e come calcolarli?

Definizioni e calcoli: Coseno e Arcocoseno



  • Definizioni

  • Definizione 1: Coseno - In un triangolo rettangolo il coseno di un angolo rappresenta il rapporto tra il lato adiacente all'angolo e l'ipotenusa.
  • cos(∠A) = c/b
  • Coseno e arcocoseno

    Coseno e arcocoseno

  • Definizione 2: Arccos (l'arcoseno) - Questo è l'inverso della funzione matematica coseno standard. Mentre la funzione coseno prende un angolo e restituisce il rapporto corrispondente, la funzione arccos prende un rapporto e restituisce l'angolo corrispondente.
  • Poiché cos e arccos sono funzioni inverse, arccos(cos(∡A)) = ∡A. Se applichiamo la funzione arccos all'uguaglianza sopra:
  • cos(∡A) = c/b => arccos(cos(∡A)) = arccos(c/b) <=>
  • ∡A = arccos(c/b) =>
  • arccos(c/b) = misura dell'angolo ∡A

  • Il coseno degli angoli supplementari

  • Definizione: Due angoli sono supplementari se la somma delle loro misure è pari a 180 gradi (π radianti).
  • Esempio: Un angolo di 120° è supplementare a quello di 60°, perché 120° + 60° = 180°.
  • Formula del coseno degli angoli supplementari:

cos(180° - θ) = - cos(θ)


  • Come dimostriamo questa formula?
  • Sul sistema di assi ortogonali xOy abbiamo questo cerchio di centro O e raggio r.
  • Scegliamo il punto A sulla circonferenza in modo che la misura dell'angolo formato dal segmento OA con l'asse Ox sia uguale a θ. C è la proiezione del punto A sull'asse Ox, cioè AC è perpendicolare a Ox. => Nel triangolo rettangolo △AOC, la misura dell'angolo ∡AOC è m(∡AOC) = θ.
  • Il coseno degli angoli supplementari

    Il coseno degli angoli supplementari

  • Scegliamo il punto B sulla circonferenza in modo che la misura dell'angolo formato dal segmento OB con l'asse Ox sia uguale a (180° - θ). D è la proiezione del punto B sull'asse del bue, cioè BD è perpendicolare a Ox. => Nel triangolo rettangolo △BOD, la misura dell'angolo ∡BOD è m(∡BOD) = θ.
  • I triangoli rettangoli △AOC e △BOD sono congruenti (angolo, θ, ipotenusa, r) ​​=> OC congruente a OD, OC ≅ OD.
  • I coseni degli angoli ∡AOC e ∡BOC sono:

  • cos(∡AOC) = cos(θ) = OC/r
  • cos(∡BOC) = cos(180° - θ) = OD/r

    • Ma OD = - OC (hanno la stessa lunghezza, essendo segmenti congruenti, ma si trovano in quadranti diversi in termini di Ox).


    • => cos(∡BOC) = cos(180° - θ) = - OC/r = - cos(θ)
    • => cos(180° - θ) = - cos(θ)

    • Esempi di calcolo

    • Esempio 1: Calcolo del coseno
    • In un triangolo rettangolo che ha la misura dell'angolo ∡B = 90°, la lunghezza del lato b = 10 e la lunghezza del lato c = 6, il coseno dell'angolo ∠A si calcola come:
    • Coseno e arcocoseno

      Coseno e arcocoseno


    cos(∠A) = c/b = 6/10 = 3/5 = 0,6


  • Esempio 2: Calcolo dell'arcoseno
  • In un triangolo rettangolo che ha la misura dell'angolo ∡B = 90°, la lunghezza del lato b = 10 e la lunghezza del lato c = 6, la misura dell'angolo ∡A si calcola come:
  • arccos(cos(∠A)) = misura dell'angolo ∡A = arccos(c/b) = arccos(6/10) = arccos(3/5) = arccos(0,6) = 53,1301024° ≈ 53,13°.
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