Il teorema di Apollonio. Formula e dimostrazione

• Le mediane in un triangolo

• Definizione: La mediana di un triangolo è un segmento che collega un vertice del triangolo al punto medio del lato opposto.
• Ogni triangolo ha tre mediane che si incontrano in un unico punto centrale, chiamato baricentro.
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  Le tre mediane del triangolo

• Nel triangolo △ABC m_a è la mediana che collega il vertice A al centro del lato BC, m_b è la mediana che collega il vertice B al centro del lato AC e m_c è la mediana che collega il vertice C al centro del lato AB. Tutte le mediane si intersecano nel punto G, il baricentro.
• Il punto G divide le lunghezze delle tre mediane come segue:

• ^AG/_AM = ^BG/_BP = ^CG/_CN = ²/₃
• ^GM/_AM = ^GP/_BP = ^GN/_CN = ¹/₃
• ^GM/_AG = ^GP/_BG = ^GN/_CG = ¹/₂
  

• Teorema di Apollonio

• In un triangolo △ABC, di cui conosciamo le lunghezze dei lati "a", "b" e "c", aventi rispettivamente i vertici opposti A, B e C, esiste una relazione tra le lunghezze dei lati e le lunghezze delle mediane m_a, m_b e m_c, dove la mediana m_a è ricavata dal vertice A al lato "a", la mediana m_b viene tracciata dal vertice B al lato "b", e m_c viene tracciata dal vertice C al lato "c":

• b² + c² = 2 × (m_a² + (^a/₂)²) =>
• m_a² = ^{(b2 + c2)}/₂ - (^a/₂)²
• a² + c² = 2 × (m_b² + (^b/₂)²) =>
• m_b² = ^{(a2 + c2)}/₂ - (^b/₂)²
• a² + b² = 2 × (m_c² + (^c/₂)²) =>
• m_c² = ^{(a2 + b2)}/₂ - (^c/₂)²

• Dimostrazione del Teorema di Apollonio

• Dimostriamo il Teorema di Apollonio utilizzando il Teorema del coseno, chiamato anche Teorema di Carnot o Teorema di Pitagora Generalizzato, che viene utilizzato anche per calcolare le misure degli angoli in un triangolo.
• » Teorema di Carnot o teorema del coseno o teorema di Pitagora generalizzato. Formula e dimostrazione
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  Le tre mediane del triangolo Dimostrazione del Teorema di Apollonio

• Sia la mediana AM, di lunghezza m_a, dividere il lato BC, di lunghezza "a", in due parti uguali, di lunghezza BM = CM = ^a/₂. Anche le lunghezze di AB = c, AC = b, BC = a.
• Sia la misura dell'angolo ∡AMB = θ. Poiché la somma di due angoli su una retta è pari a 180°, allora l'angolo adiacente ∡AMC = 180° - θ.

• => cos(180° - θ) = - cos(θ)
• » Coseno e Arcocoseno in un triangolo rettangolo

Applica il Teorema del coseno al triangolo △ABM, avendo cura di includere nella formula anche l'angolo ∡AMB = θ:

• c² = m_a² + (^a/₂)² - 2 × m_a × ^a/₂ × cos(θ)
• => [1] c² = m_a² + (^a/₂)² - m_a × a × cos(θ)

Applica il Teorema del coseno al triangolo △ACM, avendo cura di includere nella formula anche l'angolo ∡AMC = 180° - θ:

• b² = m_a² + (^a/₂)² - 2 × m_a × ^a/₂ × cos(180° - θ)
• Sostituisci l'espressione: cos(180° - θ) = - cos(θ)
• La relazione iniziale sopra diventa:
• [2] b² = m_a² + (^a/₂)² + m_a × a × cos(θ)

• Somma le due equazioni [1] e [2] insieme. I termini "m_a × a × cos(θ)" e "- m_a × a × cos(θ)" si annullano a vicenda:

b² + c² = 2 × (m_a² + (^a/₂)²) - Teorema di Apollonio

• Esempio di calcolo

• Calcoliamo le mediane m_a, m_b e m_c di un triangolo se sono date le lunghezze di tutti i lati: a = 12, b = 10 e c = 8.
• Applica il Teorema di Apollonio e risolvi le mediane: