Teorema di Pitagora, dimostrazione con l'uso di un quadrato

• Teorema di Pitagora

• In ogni triangolo rettangolo, la somma dei quadrati dei cateti è uguale al quadrato dell'ipotenusa:

• c² = a² + b²
• Dove:
• "a" e "b" sono le lunghezze dei due cateti
• "c" è la lunghezza dell'ipotenusa

• Teorema di Pitagora generalizzato

• Il Teorema di Pitagora generalizzato, chiamato anche Teorema di Carnot o teorema del coseno, stabilisce una relazione tra la lunghezza di un lato di un dato triangolo e gli altri due lati, utilizzando il coseno dell'angolo formato da questi due lati, come segue:

c² = a² + b² - 2 × a × c × cos(∠C)

Tuttavia, se la misura dell'angolo ∠C è m(∡C) = 90° => cos(90°) = 0, la formula del Teorema di Pitagora generalizzato diventa il Teorema di Pitagora classico:

c² = a² + b²

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• 1. Costruiamo un quadrato con il lato L = a + b

• Posizioniamo all'interno di questo quadrato quattro triangoli rettangoli congruenti. Le lunghezze dei cateti di questi quadrati retti sono rispettivamente a e b, come nella figura adiacente.
• La lunghezza delle quattro ipotenuse è uguale a "c".
• 

  Dimostrazione del Teorema di Pitagora utilizzando il quadrato

• I quattro triangoli sono congruenti e le misure degli angoli α + β = 90°.
• Risulta che le misure degli angoli γ = 180° - (α + β) = 180° - 90° = 90°.
• Quindi risulta che il poligono di lato c è un quadrato.

• 2. Calcoliamo l'area del quadrato grande con due metodi

• L'area del grande quadrato, Area_L, può essere ottenuta nel modo più semplice moltiplicando i suoi lati:

Area_L = L × L = L² = (a + b)²

Tuttavia, l'area del quadrato grande, Area_L, può essere ottenuta anche sommando le aree delle forme geometriche che lo compongono, cioè i quattro triangoli rettangoli congruenti e il quadrato più piccolo, di lato "c", formato al centro:

Area_L = 4 × ¹/₂ × a × b + c × c = 2 × a × b + c²

• 3. Mettiamo in uguaglianza le due relazioni:

• Entrambe le equazioni rappresentano l'area del quadrato grande, Area_L, calcolata in modi diversi, quindi sono uguali tra loro.

2 × a × b + c² = (a + b)²

Annulla la parentesi:

2 × a × b + c² = a² + 2 × a × b + b²

Cancelliamo il termine comune, "2 × a × b", su entrambi i membri dell'uguaglianza, e otteniamo il Teorema di Pitagora:

c² = a² + b²

• Perché è importante il Teorema di Pitagora

• Il teorema di Pitagora stabilisce una relazione tra le lunghezze dei lati di un triangolo rettangolo.
• Applicando il teorema di Pitagora possiamo determinare se un triangolo è rettangolo oppure no.
• Il teorema di Pitagora ha molte applicazioni pratiche: in geometria è la base della trigonometria, è usato per calcolare le distanze tra due punti su una mappa, è la base dei sistemi di localizzazione su mappe digitali o per stabilire percorsi, è usato nell'edilizia e nell'architettura per costruire angoli di 90 gradi, e in fisica e ingegneria per scomporre forze o velocità.

• Esempio 1: calcolo dell'ipotenusa in un triangolo rettangolo

• Abbiamo un triangolo rettangolo con cateti di lunghezze a = 3 e b = 4, calcoliamo la lunghezza dell'ipotenusa, "c".

• Esempio 2: controlliamo se un triangolo è rettangolo

• Abbiamo un triangolo con i lati a = 4, b = 7 e c = 8, controlliamo se è un triangolo rettangolo.
• Assumiamo che il triangolo sia rettangolo, applichiamo il Teorema di Pitagora e vediamo se è verificato.

Il teorema di Pitagora non è verificato, quindi il triangolo non è rettangolo.