Seno e arcoseno in un triangolo rettangolo

Seno e arcoseno. Cosa sono e come calcolarli?

Definizioni e calcoli: seno e arcoseno



  • Definizioni

  • Definizione 1: Il seno - In un triangolo rettangolo il seno di un angolo rappresenta il rapporto tra il lato opposto all'angolo e l'ipotenusa.
  • sin(∠A) = a/b
  • Seno e arcoseno

    Seno e arcoseno

  • Definizione 2: Arcseno (l'arcoseno) - Questa è l'inversa della funzione matematica seno standard. Mentre la funzione seno prende un angolo e restituisce il rapporto corrispondente, la funzione arcsin prende un rapporto e restituisce l'angolo corrispondente.
  • Poiché sin e arcsin sono funzioni inverse, arcsin(sin(∡A)) = ∡A. Se applichiamo la funzione arcsin all'uguaglianza sopra:
  • sin(∡A) = a/b => arcsin(sin(∡A)) = arcsin(a/b) <=>
  • ∡A = arcsin(a/b) =>
  • arcsin(a/b) = misura dell'angolo ∡A

  • Il seno degli angoli supplementari

  • Definizione: Due angoli sono supplementari se la somma delle loro misure è pari a 180 gradi (π radianti).
  • Esempio: Un angolo di 110° è supplementare a quello di 70°, perché 110° + 70° = 180°.
  • Formula del seno degli angoli supplementari:

sin(180° - θ) = sin(θ)


  • Come dimostriamo questa formula?
  • Sul sistema di assi ortogonali xOy abbiamo la circonferenza di centro O e raggio r.
  • Scegliamo il punto A sulla circonferenza in modo che la misura dell'angolo formato dal segmento OA con l'asse Ox sia uguale a θ. C è la proiezione del punto A sull'asse Ox, cioè AC è perpendicolare a Ox. => Nel triangolo rettangolo △AOC, la misura dell'angolo ∡AOC è m(∡AOC) = θ.
  • Il seno degli angoli supplementari

    Il seno degli angoli supplementari

  • Scegliamo il punto B sulla circonferenza in modo che la misura dell'angolo formato dal segmento OB con l'asse Ox sia uguale a (180° - θ). D è la proiezione del punto B sull'asse Ox, cioè BD è perpendicolare a Ox. => Nel triangolo rettangolo △BOD, la misura dell'angolo ∡BOD è m(∡BOD) = θ.
  • I triangoli rettangoli △AOC e △BOD sono congruenti (angolo, θ, ipotenusa, r) ​​=> AC congruente a BD, AC ≅ BD.
  • I seni degli angoli ∡AOC e ∡BOC sono:

  • sin(∡AOC) = sin(θ) = AC/r
  • sin(∡BOC) = sin(180° - θ) = BD/r

    • Ma BD = AC (hanno la stessa lunghezza, essendo segmenti congruenti e si trovano in quadranti simili in termini di Ox).


    • => sin(∡BOC) = sin(180° - θ) = AC/r = sin(θ)
    • => sin(180° - θ) = sin(θ)

    • Esempi di calcolo

    • Esempio 1: Calcolo del seno
    • In un triangolo rettangolo che ha la misura dell'angolo ∡B = 90°, la lunghezza del lato b = 10 (il lato opposto all'angolo ∡B) e la lunghezza del lato a = 4 (il lato opposto all'angolo ∡A), il seno dell'angolo ∠A si calcola come:
    • Seno e arcoseno

      Seno e arcoseno


    sin(∠A) = a/b = 4/10 = 2/5 = 0,4


    • Esempio 2: Calcolo dell'arcoseno
    • In un triangolo rettangolo che ha la misura dell'angolo ∡B = 90°, la lunghezza del lato b = 10 (il lato opposto all'angolo ∡B) e la lunghezza del lato a = 4 (il lato opposto all'angolo ∡A), la misura dell'angolo ∡A si calcola come:
    • arcsin(sin(∠A)) = misura dell'angolo ∡A = arcsin(a/b) = arcsin(4/10) = arcsin(2/5) = arcsin(0,4) = 23,578178478202° ≈ 23,58°.