Come dimostrare la formula per il calcolo del raggio del cerchio circoscritto ad un triangolo?

• Formula per il calcolo del raggio del cerchio circoscritto ad un triangolo

• Per calcolare R, il raggio del cerchio circoscritto al triangolo △ABC, applicare la formula:
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  Cerchio circoscritto ad un triangolo, di raggio R

• R = ^{(a × b × c)} / _{(4 × Area)}
• Dove:
• "a", "b" e "c" sono le lunghezze dei tre lati del triangolo △ABC
• R è il raggio raggio del cerchio circoscritto al triangolo △ABC
• L'area è l'area del triangolo △ABC

» Come trovare il centro del cerchio circoscritto a un triangolo

• Come dimostrare la formula per il calcolo del raggio del cerchio circoscritto?

• Usiamo il Teorema dei seni e la Formula trigonometrica dell'area di un triangolo per dimostrare la formula del raggio sopra.
• 1) Il Teorema dei seni stabilisce la relazione tra le lunghezze dei lati "a", "b" e "c" del triangolo △ABC, ed i seni degli angoli opposti, ∠A, ∠B e ∠C:

• [1] ^a / _sin(∠A) = ^b / _sin(∠B) = ^c / _sin(∠C) = 2 × R
• Dove:
• R è il raggio raggio del cerchio circoscritto al triangolo △ABC
• "a", "b" e "c" sono le lunghezze dei tre lati del triangolo △ABC
• ∠A, ∠B e ∠C sono gli angoli del triangolo △ABC

» Teorema dei seni in un triangolo, dimostrazione sul cerchio circoscritto

• 2) La formula trigonometrica dell'area afferma che l'area di un triangolo è uguale alla metà del prodotto delle lunghezze di due lati del triangolo e del seno dell'angolo compreso tra loro:
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  Come dimostrare la formula per il calcolo del raggio del cerchio circoscritto?

• [2] Area = ¹/₂ × b × c × sin(∠A)
• Dove:
• "b" e "c" sono le lunghezze di due lati del triangolo △ABC
• ∠A è l'angolo formato dai lati di lunghezza "b" e "c"

» Come calcolare l'area di un triangolo, date le lunghezze di due lati e la misura dell'angolo compreso tra loro. Formula trigonometrica

Dalla relazione [1], del teorema dei seni, si deduce la formula per il seno dell'angolo ∠A:

[3] sin(∠A) = ^a/_{(2 × R)}

Sostituisci sin(∠A) nella relazione [2], della formula trigonometrica dell'area:

Risolvi per R nella relazione di cui sopra, dell'area, e così sarà dimostrata la formula per il calcolo del raggio del cerchio circoscritto ad un triangolo:

R = ^{a × b × c}/_{(4 × Area)}