Risolvi il triangolo date le lunghezze dei suoi tre lati: 3,45, 6,15 e 5,85. Calcolatrice per triangoli: angoli, area, (semi)perimetro, altezze, mediane, raggi dei cerchi

• Il triangolo indicato viene risolto di seguito passo dopo passo, con spiegazioni complete delle formule utilizzate, spiegazioni chiare sui termini utilizzati e con immagini illustrative.
• Alla fine, tutti i dati calcolati del triangolo sono riassunti in una sezione.
• L'ordine dei passaggi per risolvere il triangolo: 1) calcolo del perimetro, 2) semiperimetro, 3) misure degli angoli, 4) area - calcolata con due metodi, 5) lunghezze delle tre altezze del triangolo, 6) lunghezze delle tre mediane del triangolo, 7) raggio del cerchio inscritto e 8) raggio del cerchio circoscritto.

Triangolo scaleno

• Questo è un triangolo scaleno, con tutte le lunghezze dei suoi lati diverse tra loro, senza essere un triangolo rettangolo.
• Il triangolo non è equilatero, né isoscele, né rettangolo, cose che si possono determinare facilmente dalle lunghezze dei lati.

Queste formule derivano dal Teorema del Coseno (o dal Teorema di Pitagora generalizzato).

• m(∡A) = arccos(^{(b2 + c2 - a2)} / _{(2 × b × c)})
• m(∡B) = arccos(^{(a2 + c2 - b2)} / _{(2 × a × c)})
• m(∡C) = arccos(^{(a2 + b2 - c2)} / _{(2 × a × b)})
• Dove:
• a = il lato del triangolo opposto all'angolo ∠A
• b = il lato del triangolo opposto all'angolo ∠B
• c = il lato del triangolo opposto all'angolo ∠C

• Perché questa formula? Dimostrazione del teorema del coseno

• In un qualunque triangolo △ABC, che non sia rettangolo, con i lati BC = a, AC = b e AB = c, tracciamo dal vertice A la perpendicolare al lato BC, che interseca BC nel punto D. Notiamo le lunghezze dei lati AD = h_a, BD = a1 e CD = a2, dove a1 + a2 = a.
• 

  Dimostrazione del teorema del coseno

• Nel triangolo rettangolo △ABD abbiamo le seguenti relazioni trigonometriche:
• sin(∠B) = ^h_a/_c => h_a = c × sin(∠B)
• cos(∠B) = ^a1/_c => a1 = c × cos(∠B)
• Nel triangolo rettangolo △ADC applichiamo il Teorema di Pitagora:
• b² = h_a² + a2² <=>
• b² = h_a² + (a - a1)²

• ---

• Sostituisci h_a e a1 nella formula sopra:
• b² = c² × sin²(∠B) + (a - c × cos(∠B))² <=>
• b² = c² × sin²(∠B) + a² - 2 × a × c × cos(∠B) + c² × cos²(∠B) <=>
• b² = c² × (sin²(∠B) + cos²(∠B)) + a² - 2 × a × c × cos(∠B) <=>
• b² = c² × (^h_a2/_c² + ^a12/_c²) + a² - 2 × a × c × cos(∠B) <=>
• b² = c² × ^{(h_a2 + a12)}/_c² + a² - 2 × a × c × cos(∠B) <=>

• ---

• Nel triangolo rettangolo △ABD h_a² + a1² = c² (Teorema di Pitagora) =>
• ^{(h_a2 + a12)}/_c² = 1 =>

• ---

• b² = c² + a² - 2 × a × c × cos(∠B) <=>
• cos(∠B) = ^{(a2 + c2 - b2)} / _{(2 × a × c)}
• Applicare la funzione arccos a entrambi i lati dell'uguaglianza:
• arccos(cos(∠B)) = arccos(^{(a2 + c2 - b2)} / _{(2 × a × c)}) =>
• m(∡B) = arccos(^{(a2 + c2 - b2)} / _{(2 × a × c)})
• Lo stesso procedimento viene utilizzato per calcolare le misure degli angoli ∠A e ∠C

• Le ultime tre definizioni: π. Radianti. Gradi

• Definizione: π rappresenta il rapporto costante tra la circonferenza di un cerchio, C, e il suo diametro, d (d = 2 × r, dove r è il raggio del cerchio), che è circa 3,14159, comunemente stimato come la frazione ²²/₇.
  π = ^C/_d = ^C/_{(2 × r)}
• 

  Misura degli angoli: π. Radianti. Gradi

• Definizione: Un radiante è un'unità standard di misura dell'angolo. Un radiante è uguale a quell'angolo formato quando la lunghezza dell'arco di un cerchio è uguale al raggio del cerchio stesso. Ci sono esattamente 2π radianti nella circonferenza (la lunghezza) di un cerchio (qualsiasi cerchio). 1 radiante corrisponde a circa 57,296° (gradi). Un angolo di 360° = 2π radianti, 180° = π radianti, 90° = ^π/₂ radianti, 45° = ^π/₄ radianti.
• Definizione: Gli angoli sono solitamente misurati in gradi (°). Un grado è un'unità standard di misura dell'angolo. L'angolo formato da un cerchio completo è 360°. Un angolo ottuso è compreso tra (90° e 180°). Un angolo retto è 90°. Un angolo acuto è compreso tra (0° e 90°).

• ∡A = 33.297126303611°
• ∡B = 78.130362545865°
• ∡C = 68.57251115048°

Nota: La somma degli angoli è circa 180° invece che esattamente 180°. Questo perché abbiamo eseguito calcoli che richiedevano arrotondamenti: calcolo degli arccos e conversione da radianti a gradi.

• Questo metodo richiede più passaggi per arrivare al risultato rispetto al secondo.
• In teoria, entrambe le formule di calcolo arriveranno esattamente allo stesso risultato. Ma in pratica, quando si utilizzano strumenti di calcolo che implicano arrotondamenti e approssimazioni, è meglio utilizzare il metodo di calcolo che prevede meno passaggi e meno approssimazioni.
• Questo metodo è presentato qui a scopo dimostrativo, calcoleremo l'area utilizzando il secondo metodo, che prevede meno passaggi e meno approssimazioni.

• La formula classica:

• Area = ¹/₂ × a × h_a
• Dove:
• a = il lato del triangolo opposto all'angolo ∠A
• h_a = l'altezza AD dal vertice A al lato "a" (BC), dove D appartiene alla linea contenente il segmento BC.
• 

  L'altezza h_a espressa in funzione del lato "b" e del seno dell'angolo C

• == Ma non conosciamo l'altezza h_a. Come procediamo? ==
• Utilizzando la trigonometria, nel triangolo rettangolo △ADC (∡D = 90°), formato a destra dell'altezza h_a:
• sin(∠C) = ^h_a / _b
• Ne consegue che h_a = b × sin(∠C).
• Sostituisci l'altezza h_a nella formula classica dell'area e ottieni:

• Formula trigonometrica:

• Area = ¹/₂ × a × b × sin(∠C)

Nota: L'area verrà calcolata utilizzando il 2^° metodo, che prevede meno passaggi e approssimazioni.

• Heron's Formula

• Data la lunghezza dei suoi tre lati, l'area di un triangolo può essere calcolata utilizzando la Formula di Erone:
• Area² = s × (s - a) × (s - b) × (s - c)
• Dove:
• "a", "b" e "c" sono le lunghezze dei tre lati del triangolo
• "s" è il semiperimetro del triangolo, già calcolato sopra

• Dimostrazione pitagorica passo passo della formula di Erone

• Consideriamo un triangolo △ABC con i suoi lati BC = a, AC = b e AB = c. Disegna l'altezza dal vertice A, opposto al lato "a", AD ⊥ BC, D ∈ BC, AD = h. Ad divide la base "a" in due segmenti, BD = x e CD = a - x.
• 

  Il triangolo △ABC per la Formula di Erone

• Applica il Teorema di Pitagora al triangolo rettangolo △ADB:
• h² + x² = c² =>
• h² = c² - x²
• Applica il Teorema di Pitagora al triangolo rettangolo △ADC:
• h² + (a - x)² = b² =>
• h² = b² - (a - x)²
• Uguaglia le due espressioni per h² e risolvi il segmento "x":
• c² - x² = b² - (a - x)² <=>
• c² - x² = b² - (a² - 2 × a × x + x²) <=>
• c² - x² = b² - a² + 2 × a × x - x² <=>
• c² = b² - a² + 2 × a × x <=>
• 2 × a × x = a² + c² - b² <=>
• x = ^{(a2 + c2 - b2)}/_{(2 × a)}
• Sostituisci "x" nella formula di h² e calcola l'altezza "h":
• h² = c² - x² <=>
• h² = c² - (^{(a2 + c2 - b2)}/_{(2 × a)})²
• Scomponi l'espressione in fattori utilizzando la regola della differenza dei quadrati, c² - x² = (c - x) × (c+x):
• h² = ^{((2 × a × c)2 - (a2 + c2 - b2)2)} / _{(2 × a)})² <=>
• h² = ^{(2 × a × c - a2 - c2 + b2) × (2 × a × c + a2 + c2 - b2)} / _{(2 × a)²} <=>
• h² = ^{(b2 - (a2 - 2 × a × c + c2)) × ((a2 + 2 × a × c + c2) - b2)} / _{(2 × a)²} <=>
• h² = ^{(b2 - (a - c)2) × ((a + c)2 - b2)} / _{(2 × a)²} <=>
• h² = ^{(b - a + c) × (b + a - c) × (a + c - b) × (a + c + b)} / _{(2 × a)²} <=>
• h² = ^{(a + b + c) × (b + c - a) × (a + c - b) × (a + b - c)} / _{(2 × a)²}
• Sostituisci h² nella formula dell'area:
• Area = ¹/₂ × a × h => Area² = ¹/₄ × a² × h² =>
• Area² = ¹/₄ × a² × ^{(a + b + c) × (b + c - a) × (a + c - b) × (a + b - c)} / _{(4 × a²)} <=>
• [1] Area² = ¹/₁₆ × (a + b + c) × (b + c - a) × (a + c - b) × (a + b - c)
• Utilizza il semiperimetro s = ^{(a + b + c)}/₂ per esprimere i fattori della formula [1] sopra:
• => a + b + c = 2 × s
• => b + c - a = 2 × s - 2 × a = 2 × (s - a)
• => a + c - b = 2 × s - 2 × b = 2 × (s - b)
• => a + b - c = 2 × s - 2 × c = 2 × (s - c)
• Riscrivi la formula [1]:
• Area² = ¹/_2⁴ × 2 × s × 2 × (s - a) × 2 × (s - b) × 2 × (s - c) <=>
• Area² = s × (s - a) × (s - b) × (s - c) - Heron's Formula

Area ≈ 9,875480110955 ≈ 9,88 unità quadrate

• Definizione: L'altezza di un triangolo è un segmento di linea retta tracciato da un vertice, perpendicolare (con un angolo di 90 gradi) al lato opposto. Ogni triangolo ha tre altezze. Tutte e tre le altezze si incrociano sempre in un unico punto, chiamato ortocentro.
• 

  Le tre altezze del triangolo

• Nel triangolo △ABC h_a è l'altezza partendo dal vertice A, perpendicolare al lato BC, h_a ⊥ BC. h_b è l'altezza a partire dal vertice B, perpendicolare al lato AC, h_b ⊥ AC. h_c inizia dal vertice C, perpendicolare al lato AB, h_c ⊥ AB. Si intersecano tutti nel punto H, l'ortocentro.

• ---

• Conoscendo l'area e i lati del triangolo, possiamo calcolare le altezze h_a, h_b e h_c dai vertici A, B e C ai lati a, b e c rispettivamente.
• Partendo dalla formula classica dell’area:
• Area = ¹/₂ × a × h_a =>
• h_a = ^{2 × Area} / _a ≈ 5,724916006351 ≈ 5,72
• Area = ¹/₂ × b × h_b =>
• h_b = ^{2 × Area} / _b = 3,211538247465 ≈ 3,21
• Area = ¹/₂ × c × h_c =>
• h_c = ^{2 × Area} / _c ≈ 3,376232516566 ≈ 3,38

• Definizione: La mediana di un triangolo è un segmento che collega un vertice del triangolo al punto medio del lato opposto. Ogni triangolo ha tre mediane che si incontrano in un unico punto centrale, chiamato baricentro.
• 

  Le tre mediane del triangolo

• Nel triangolo △ABC m_a è la mediana che collega il vertice A al centro del lato BC, m_b è la mediana che collega il vertice B al centro del lato AC e m_c è la mediana che collega il vertice C al centro del lato AB. Si intersecano tutti nel punto G, il baricentro.
• Il baricentro G divide le lunghezze delle tre mediane come segue:
• ^AG/_AM = ^BG/_BP = ^CG/_CN = ²/₃
• ^GM/_AM = ^GP/_BP = ^GN/_CN = ¹/₃
• ^GM/_AG = ^GP/_BG = ^GN/_CG = ¹/₂
  

• Teorema di Apollonio

• == Dimostrazione del Teorema di Apollonio alla fine della sezione. ==
• In un triangolo △ABC, di cui conosciamo le lunghezze dei lati "a", "b" e "c" - aventi rispettivamente i vertici opposti A, B e C, esiste una relazione tra le lunghezze dei lati e le lunghezze delle mediane m_a, m_b e m_c, dove la mediana m_a va dal vertice A al lato "a", mediana m_b va dal vertice B al lato "b", e m_c va dal vertice A al lato "c":
• b² + c² = 2 × (m_a² + (^a/₂)²) =>
• m_a² = ^{(b2 + c2)}/₂ - (^a/₂)²= 33,046875 ≈ 33,05 =>
• La mediana m_a ≈ 5,748641143783 ≈ 5,75

• ---

• a² + c² = 2 × (m_b² + (^b/₂)²) =>
• m_b² = ^{(a2 + c2)}/₂ - (^b/₂)²= 13,606875 ≈ 13,61 =>
• La mediana m_b ≈ 3,688749788207 ≈ 3,69

• ---

• a² + b² = 2 × (m_c² + (^c/₂)²) =>
• m_c² = ^{(a2 + b2)}/₂ - (^c/₂)²= 16,306875 ≈ 16,31 =>
• La mediana m_c ≈ 4,038177187792 ≈ 4,04

• ---

• Dimostrazione del Teorema di Apollonio

• Dimostriamo il teorema di Apollonio utilizzando la teorema del coseno, che abbiamo dimostrato sopra, quando abbiamo calcolato le misure degli angoli.
• 

  Le tre mediane del triangolo

• Sia la mediana AM, di lunghezza m_a, a dividere il lato BC, di lunghezza "a", in due parti uguali, di lunghezza BM = CM = ^a/₂. Anche AB = c, AC = b, BC = a.
• Sia la misura dell'angolo ∡AMB = θ. Poiché due angoli su una retta sommati danno 180°, allora l'angolo adiacente ∡AMC = 180° - θ.
• => cos(180° - θ) = - cos(θ)
• Applica la teorema del coseno al triangolo △ABM, avendo cura di includere nella formula anche l'angolo ∡AMB = θ:
• c² = m_a² + (^a/₂)² - 2 × m_a × ^a/₂ × cos(θ) =>
• [1] c² = m_a² + (^a/₂)² - m_a × a × cos(θ)
• Applica la legge del coseno al triangolo △ACM, avendo cura di includere nella formula anche l'angolo ∡AMC = 180° - θ:
• b² = m_a² + (^a/₂)² - 2 × m_a × ^a/₂ × cos(180° - θ)
• cos(180° - θ) = - cos(θ)
• La relazione precedente diventa:
• [2] b² = m_a² + (^a/₂)² + m_a × a × cos(θ)
• Somma le due equazioni [1] e [2] insieme. I termini m_a × un × cos(θ) e - m_a × un × cos(θ) si annullano a vicenda:
• b² + c² = 2 × (m_a² + (^a/₂)²)

• Intro

• La bisettrice di un angolo è una semiretta interna all'angolo, con l'origine al vertice, che forma con i lati dell'angolo due angoli congruenti. Qualsiasi punto appartenente alla bisettrice è equidistante da entrambi i lati dell'angolo.
• 

  Bisettrice di un angolo

• In ogni triangolo le bisettrici degli angoli sono concorrenti in un punto che è il centro del cerchio tangente ai lati del triangolo, chiamato cerchio inscritto nel triangolo. Questo è il cerchio più grande che si inserisce all'interno del triangolo.
• 

  Le bisettrici e il cerchio inscritto nel triangolo

• Nel triangolo △ABC, AA' è la bisettrice dell'angolo ∠BAC => ∠BAA' = ∠CAA' = ^∠BAC / ₂
• BB' è la bisettrice dell'angolo ∠ABC => ∠ABB' = ∠CBB' = ^∠ABC / ₂
• CC' è la bisettrice dell'angolo ∠ACB => ∠ACC' = ∠BCC' = ^∠ACB / ₂

• ---

• Le bisettrici AA', BB' e CC' si intersecano nel punto O, che è il centro del cerchio inscritto nel triangolo. Perché sta succedendo questo?

• ---

• O è un punto sulla bisettrice AA' quindi è equidistante dai segmenti AB e AC => [1] la distanza dal punto O al segmento AB è OP, dove OP ⊥ AB (⊥ è il simbolo dei segmenti perpendicolari), [2] la distanza dal punto O al segmento AC è ON, dove ON ⊥ AC e [3] OP ≅ ON.
• O è un punto sulla bisettrice BB' quindi è equidistante dai segmenti AB e BC => [1] la distanza dal punto O al segmento AB è OP, dove OP ⊥ AB, [2] la distanza dal punto O al segmento BC è OM, dove OM ⊥ BC e [3] OP ≅ OM.
• Dalle relazioni precedenti segue che OM = ON = OP = r, dove r è il raggio del cerchio inscritto nel triangolo

• Per calcolare il raggio del cerchio inscritto nel triangolo, dividi l'area del triangolo per il suo semiperimetro:
• r = ^Area / _s
• Dove:
• r = raggio del cerchio inscritto nel triangolo
• "s" è il semiperimetro del triangolo, già calcolato sopra

• ---

• Perché questa formula? Come lo dimostriamo?
• L'area del triangolo △ABC = area △OAB + area △OBC + area △OAC = ¹/₂ × OP × AB + ¹/₂ × OM × BC + ¹/₂ × ON × AC = ¹/₂ × r × AB + ¹/₂ × r × BC + ¹/₂ × r × AC = ¹/₂ × r × (AB + BC + AC) = ¹/₂ × r × Perimetro = ^Perimetro/₂ × r = Semiperimetro × r =>
  r = ^Area / _{Semiperimetro} = ^Area / _s

• ---

• r = ^{9,875480110955} / _7,725 ≈ 1,278379302389 ≈ 1,28

• Intro

• La bisettrice perpendicolare di un segmento è la linea perpendicolare al segmento che passa per il suo centro. Qualsiasi punto appartenente alla bisettrice perpendicolare è equidistante dagli estremi del segmento.
• 

  Le bisettrici perpendicolari e la circonferenza circoscritta del triangolo

• In ogni triangolo le bisettrice perpendicolare dei lati sono concorrenti in un punto che è il centro della circonferenza passante per i vertici del triangolo, detto circonferenza circoscritta del triangolo.
• Nel triangolo △ABC, OM1 è la bisettrice perpendicolare del segmento BC => BM1 = CM1 = ^BC / ₂ = ^a / ₂, dove "a" è la lunghezza del segmento BC.
• OM2 è la bisettrice perpendicolare del segmento AC => AM2 = CM2 = ^AC / ₂ = ^b / ₂, dove "b" è la lunghezza del segmento AC.
• OM3 è la bisettrice perpendicolare del segmento AB => AM3 = BM3 = ^AB / ₂ = ^c / ₂, dove "c" è la lunghezza del segmento AB.

• ---

• Le bisettrici perpendicolari OM1, OM2 e OM3 si intersecano nel punto O, che è il centro della circonferenza circoscritta al triangolo. Perché sta succedendo questo?

• ---

• O è un punto sulla bisettrice perpendicolare OM1 => BM1 = CM1 = ^a/₂, OM1 ⊥ BC (⊥ è il simbolo per segmenti o linee perpendicolari), e OM1 segmento comune => triangoli rettangoli △OBM1 ≅ △OCM1 => OB ≅ OC.
• O è un punto sulla bisettrice perpendicolare OM2 => AM2 = CM2 = ^b/₂, OM2 ⊥ AC, e segmento comune OM2 => triangoli rettangoli △OAM2 ≅ △OCM2 => OA ≅ OC.
• Dalle relazioni precedenti segue che OA = OB = OC = R, dove R è il raggio del cerchio circoscritto al triangolo.

• Per calcolare R, il raggio del cerchio circoscritto al triangolo, applicare la formula:
• R = ^{a × b × c} / _{(4 × Area)}
• Dove:
• "a", "b" e "c" sono le lunghezze dei tre lati del triangolo

• ---

• Perché questa formula? Come lo dimostriamo?
• Il Teorema dei Seni stabilisce la relazione tra le lunghezze dei lati "a", "b" e "c" di un triangolo, ad esempio △ABC, e i seni degli angoli opposti, ∠A, ∠B e ∠C:
• [1] ^a/_sin(∠A) = ^b/_sin(∠B) = ^c/_sin(∠C) = 2 × R
• R è il raggio della circonferenza circoscritta al triangolo △ABC.
• Usiamo anche la Formula Trigonometrica dell'Area che abbiamo dimostrato sopra, quando abbiamo calcolato l'area:
• [2] Area = ¹/₂ × b × c × sin(∠A)

• ---

• Dalla relazione [1] si deduce che:
• [3] sin(∠A) = ^a/_{(2 × R)}
• Sostituisci sin(∠A) nella relazione [2]:
• Area = ¹/₂ × b × c × ^a/_{(2 × R)} = ^{a × b × c}/_{(4 × R)} =>
• R = ^{a × b × c}/_{(4 × Area)}

• ---

• R = ^{3,45 × 6,15 × 5,85}/_{(4 × 9,875480110955)} = 3,142185838193 ≈ 3,14

• 

  Il triangolo △ABC con le lunghezze dei lati: BC (a) = 3,45, AC (b) = 6,15, AB (c) = 5,85

Simboli utilizzati: + aggiunta, - sottrazione, × moltiplicazione, / divisione, = uguale, ≈ circa, => implicazione logica, ∠ angolo, ∡ angolo misurato, m(∡A) misura dell'angolo, △ triangolo, ⌒ arco di cerchio, ⊥ perpendicolare, ≅ congruenza, π il rapporto costante tra la circonferenza di un cerchio e il suo diametro, ° unità del valore misurato di un angolo e si chiama gradi, ∈ appartiene a, x² x elevato alla seconda potenza oppure x^2 = x × x, sin(∠A) seno dell'angolo A, cos(∠A) coseno dell'angolo A, arccos(rapporto) arcocoseno del rapporto indicato.

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