Risolvi il triangolo date le lunghezze dei suoi tre lati: 14, 10 e 19. Calcolatrice per triangoli: angoli, area, (semi)perimetro, altezze, mediane, raggi dei cerchi

Calcola gli angoli e l'area del triangolo, il (semi)perimetro, le tre altezze e mediane e i raggi delle circonferenze inscritte e circoscritte del triangolo


  • Il triangolo indicato viene risolto di seguito passo dopo passo, con spiegazioni complete delle formule utilizzate, spiegazioni chiare sui termini utilizzati e con immagini illustrative.
  • Alla fine, tutti i dati calcolati del triangolo sono riassunti in una sezione.
  • L'ordine dei passaggi per risolvere il triangolo: 1) calcolo del perimetro, 2) semiperimetro, 3) misure degli angoli, 4) area - calcolata con due metodi, 5) lunghezze delle tre altezze del triangolo, 6) lunghezze delle tre mediane del triangolo, 7) raggio del cerchio inscritto e 8) raggio del cerchio circoscritto.

Triangolo scaleno

  • Questo è un triangolo scaleno, con tutte le lunghezze dei suoi lati diverse tra loro, senza essere un triangolo rettangolo.
  • Il triangolo non è equilatero, né isoscele, né rettangolo, cose che si possono determinare facilmente dalle lunghezze dei lati.

2. Calcola il semiperimetro, s = (a + b + c) / 2

Dividi il perimetro per 2.

  • s =
  • (14 + 10 + 19) / 2 =
  • 43 / 2 =
  • 21,5

3. Calcola le misure degli angoli del triangolo

  • Definizioni

  • Definizione 1: Il coseno - In un triangolo rettangolo il coseno di un angolo rappresenta il rapporto tra il lato adiacente all'angolo e l'ipotenusa.
  • cos(∠A) = c/b
  • Coseno e arcocoseno

    Coseno e arcocoseno

  • Definizione 2: Arccos (l'arcocoseno) - Questo è l'inverso della funzione matematica standard del coseno. Mentre la funzione coseno prende un angolo e restituisce il rapporto corrispondente, la funzione arccos prende un rapporto e restituisce l'angolo corrispondente.
  • Poiché cos e arccos sono funzioni inverse, arccos(cos(∡A)) = ∡A; se applichiamo la funzione arccos all'uguaglianza sopra:
  • cos(∡A) = c/b => arccos(cos(∡A)) = arccos(c/b) <=>
  • ∡A = arccos(c/b) =>
  • arccos(c/b) = misura dell'angolo ∡A

  • Esempi di calcoli

  • Esempio 1: Calcolo del coseno
  • In un triangolo rettangolo che ha la misura dell'angolo ∡B = 90°, la lunghezza del lato b = 10 e la lunghezza del lato c = 6, il coseno dell'angolo ∠A si calcola come:
  • cos(∠A) = c/b = 6/10 = 3/5 = 0,6.
  • Esempio 2: Calcolo dell'arcocoseno
  • In un triangolo rettangolo che ha la misura dell'angolo ∡B = 90°, la lunghezza del lato b = 10 e la lunghezza del lato c = 6, la misura dell'angolo ∡A si calcola come:
  • arccos(cos(∠A)) = misura dell'angolo ∡A = arccos(c/b) = arccos(6/10) = arccos(3/5) = arccos(0.6) = 53.1301024° ≈ 53,13°.

Per calcolare le misure degli angoli, utilizza le tre formule seguenti.

Queste formule derivano dal Teorema del Coseno (o dal Teorema di Pitagora generalizzato).


  • m(∡A) = arccos((b2 + c2 - a2) / (2 × b × c))
  • m(∡B) = arccos((a2 + c2 - b2) / (2 × a × c))
  • m(∡C) = arccos((a2 + b2 - c2) / (2 × a × b))
  • Dove:
  • a = il lato del triangolo opposto all'angolo ∠A
  • b = il lato del triangolo opposto all'angolo ∠B
  • c = il lato del triangolo opposto all'angolo ∠C

  • Perché questa formula? Dimostrazione del teorema del coseno

  • In un qualunque triangolo △ABC, che non sia rettangolo, con i lati BC = a, AC = b e AB = c, tracciamo dal vertice A la perpendicolare al lato BC, che interseca BC nel punto D. Notiamo le lunghezze dei lati AD = ha, BD = a1 e CD = a2, dove a1 + a2 = a.
  • Dimostrazione del teorema del coseno

    Dimostrazione del teorema del coseno

  • Nel triangolo rettangolo △ABD abbiamo le seguenti relazioni trigonometriche:
  • sin(∠B) = ha/c => ha = c × sin(∠B)
  • cos(∠B) = a1/c => a1 = c × cos(∠B)
  • Nel triangolo rettangolo △ADC applichiamo il Teorema di Pitagora:
  • b2 = ha2 + a22 <=>
  • b2 = ha2 + (a - a1)2
  • Sostituisci ha e a1 nella formula sopra:
  • b2 = c2 × sin2(∠B) + (a - c × cos(∠B))2 <=>
  • b2 = c2 × sin2(∠B) + a2 - 2 × a × c × cos(∠B) + c2 × cos2(∠B) <=>
  • b2 = c2 × (sin2(∠B) + cos2(∠B)) + a2 - 2 × a × c × cos(∠B) <=>
  • b2 = c2 × (ha2/c2 + a12/c2) + a2 - 2 × a × c × cos(∠B) <=>
  • b2 = c2 × (ha2 + a12)/c2 + a2 - 2 × a × c × cos(∠B) <=>
  • Nel triangolo rettangolo △ABD ha2 + a12 = c2 (Teorema di Pitagora) =>
  • (ha2 + a12)/c2 = 1 =>
  • b2 = c2 + a2 - 2 × a × c × cos(∠B) <=>
  • cos(∠B) = (a2 + c2 - b2) / (2 × a × c)
  • Applicare la funzione arccos a entrambi i lati dell'uguaglianza:
  • arccos(cos(∠B)) = arccos((a2 + c2 - b2) / (2 × a × c)) =>
  • m(∡B) = arccos((a2 + c2 - b2) / (2 × a × c))
  • Lo stesso procedimento viene utilizzato per calcolare le misure degli angoli ∠A e ∠C

  • Le ultime tre definizioni: π. Radianti. Gradi

  • Definizione: π rappresenta il rapporto costante tra la circonferenza di un cerchio, C, e il suo diametro, d (d = 2 × r, dove r è il raggio del cerchio), che è circa 3,14159, comunemente stimato come la frazione 22/7.
    π = C/d = C/(2 × r)
  • Misura degli angoli: π. Radianti. Gradi

    Misura degli angoli: π. Radianti. Gradi

  • Definizione: Un radiante è un'unità standard di misura dell'angolo. Un radiante è uguale a quell'angolo formato quando la lunghezza dell'arco di un cerchio è uguale al raggio del cerchio stesso. Ci sono esattamente 2π radianti nella circonferenza (la lunghezza) di un cerchio (qualsiasi cerchio). 1 radiante corrisponde a circa 57,296° (gradi). Un angolo di 360° = 2π radianti, 180° = π radianti, 90° = π/2 radianti, 45° = π/4 radianti.
  • Definizione: Gli angoli sono solitamente misurati in gradi (°). Un grado è un'unità standard di misura dell'angolo. L'angolo formato da un cerchio completo è 360°. Un angolo ottuso è compreso tra (90° e 180°). Un angolo retto è 90°. Un angolo acuto è compreso tra (0° e 90°).

Calcola la misura dell'angolo ∠A

  • m(∡A) =
  • arccos((102 + 192 - 142) / (2 × 10 × 19)) =
  • arccos((100 + (19 + 14) × (19 - 14))) / 380) =
  • arccos((100 + 33 × 5)) / 380) =
  • arccos((100 + 165)) / 380) =
  • arccos(265/380) =
  • arccos(0,697368421053) =
  • 0.79907715501293 radianti =
  • (0.79907715501293 radianti × 360 gradi) / (2 × π radianti) =
  • (0.79907715501293 × 180 gradi) / π =
  • 45.783748487562 gradi =
  • 45 gradi, 47 minuti e 1.49 secondi

Calcola la misura dell'angolo ∠B

  • m(∡B) =
  • arccos((142 + 192 - 102) / (2 × 14 × 19)) =
  • arccos((196 + (19 + 10) × (19 - 10))) / 532) =
  • arccos((196 + 29 × 9)) / 532) =
  • arccos((196 + 261)) / 532) =
  • arccos(457/532) =
  • arccos(0,859022556391) =
  • 0.53743902553768 radianti =
  • (0.53743902553768 radianti × 360 gradi) / (2 × π radianti) =
  • (0.53743902553768 × 180 gradi) / π =
  • 30.792987908933 gradi =
  • 30 gradi, 47 minuti e 34.76 secondi

Calcola la misura dell'angolo ∠C

  • m(∡C) =
  • arccos((142 + 102 - 192) / (2 × 14 × 10)) =
  • arccos((196 + (10 + 19) × (10 - 19))) / 280) =
  • arccos((196 + 29 × - 9)) / 280) =
  • arccos((196 + - 261)) / 280) =
  • arccos(- 65/280) =
  • arccos(- 0,232142857143) =
  • 1.8050764730388 radianti =
  • (1.8050764730388 radianti × 360 gradi) / (2 × π radianti) =
  • (1.8050764730388 × 180 gradi) / π =
  • 103.423263603483 gradi =
  • 103 gradi, 25 minuti e 23.75 secondi

Verifica che la somma degli angoli ∡A + ∡B + ∡C = 180°

  • ∡A = 45.783748487562°
  • ∡B = 30.792987908933°
  • ∡C = 103.423263603483°

Nota: La somma degli angoli è circa 180° invece che esattamente 180°. Questo perché abbiamo eseguito calcoli che richiedevano arrotondamenti: calcolo degli arccos e conversione da radianti a gradi.


  • m(∡A) + m(∡B) + m(∡C) =
  • 45.783748487562° + 30.792987908933° + 103.423263603483° =
  • 179.999999999978° ≈ 180°

4.1. Calcola l'area del triangolo

Metodo 1. Più lungo

  • Questo metodo richiede più passaggi per arrivare al risultato rispetto al secondo.
  • In teoria, entrambe le formule di calcolo arriveranno esattamente allo stesso risultato. Ma in pratica, quando si utilizzano strumenti di calcolo che implicano arrotondamenti e approssimazioni, è meglio utilizzare il metodo di calcolo che prevede meno passaggi e meno approssimazioni.
  • Questo metodo è presentato qui a scopo dimostrativo, calcoleremo l'area utilizzando il secondo metodo, che prevede meno passaggi e meno approssimazioni.

  • La formula classica:

  • Area = 1/2 × a × ha
  • Dove:
  • a = il lato del triangolo opposto all'angolo ∠A
  • ha = l'altezza AD dal vertice A al lato "a" (BC), dove D appartiene alla linea contenente il segmento BC.
  • L'altezza ha espressa in funzione del lato

    L'altezza ha espressa in funzione del lato "b" e del seno dell'angolo C

  • == Ma non conosciamo l'altezza ha. Come procediamo? ==
  • Utilizzando la trigonometria, nel triangolo rettangolo △ADC (∡D = 90°), formato a destra dell'altezza ha:
  • sin(∠C) = ha / b
  • Ne consegue che ha = b × sin(∠C).
  • Sostituisci l'altezza ha nella formula classica dell'area e ottieni:

  • Formula trigonometrica:

  • Area = 1/2 × a × b × sin(∠C)

Calcola l'area del triangolo

  • Area =

  • 1/2 × a × b × sin(∠C) =
  • 1/2 × 14 × 10 × sin(103.423263603483 gradi) =
  • 1/2 × 14 × 10 × sin(1.8050764730388 radianti) ≈
  • 70 × 0,972681702243 =
  • 68,08771915701 ≈
  • 68,09 unità quadrate

Nota: L'area verrà calcolata utilizzando il 2° metodo, che prevede meno passaggi e approssimazioni.



4.2. Calcola l'area del triangolo

Metodo 2. Più breve

  • Heron's Formula

  • Data la lunghezza dei suoi tre lati, l'area di un triangolo può essere calcolata utilizzando la Formula di Erone:
  • Area2 = s × (s - a) × (s - b) × (s - c)
  • Dove:
  • "a", "b" e "c" sono le lunghezze dei tre lati del triangolo
  • "s" è il semiperimetro del triangolo, già calcolato sopra

  • Dimostrazione pitagorica passo passo della formula di Erone

  • Consideriamo un triangolo △ABC con i suoi lati BC = a, AC = b e AB = c. Disegna l'altezza dal vertice A, opposto al lato "a", AD ⊥ BC, D ∈ BC, AD = h. Ad divide la base "a" in due segmenti, BD = x e CD = a - x.
  • Il triangolo △ABC per la Formula di Erone

    Il triangolo △ABC per la Formula di Erone

  • Applica il Teorema di Pitagora al triangolo rettangolo △ADB:
  • h2 + x2 = c2 =>
  • h2 = c2 - x2
  • Applica il Teorema di Pitagora al triangolo rettangolo △ADC:
  • h2 + (a - x)2 = b2 =>
  • h2 = b2 - (a - x)2
  • Uguaglia le due espressioni per h2 e risolvi il segmento "x":
  • c2 - x2 = b2 - (a - x)2 <=>
  • c2 - x2 = b2 - (a2 - 2 × a × x + x2) <=>
  • c2 - x2 = b2 - a2 + 2 × a × x - x2 <=>
  • c2 = b2 - a2 + 2 × a × x <=>
  • 2 × a × x = a2 + c2 - b2 <=>
  • x = (a2 + c2 - b2)/(2 × a)
  • Sostituisci "x" nella formula di h2 e calcola l'altezza "h":
  • h2 = c2 - x2 <=>
  • h2 = c2 - ((a2 + c2 - b2)/(2 × a))2
  • Scomponi l'espressione in fattori utilizzando la regola della differenza dei quadrati, c2 - x2 = (c - x) × (c+x):
  • h2 = ((2 × a × c)2 - (a2 + c2 - b2)2) / (2 × a))2 <=>
  • h2 = (2 × a × c - a2 - c2 + b2) × (2 × a × c + a2 + c2 - b2) / (2 × a)2 <=>
  • h2 = (b2 - (a2 - 2 × a × c + c2)) × ((a2 + 2 × a × c + c2) - b2) / (2 × a)2 <=>
  • h2 = (b2 - (a - c)2) × ((a + c)2 - b2) / (2 × a)2 <=>
  • h2 = (b - a + c) × (b + a - c) × (a + c - b) × (a + c + b) / (2 × a)2 <=>
  • h2 = (a + b + c) × (b + c - a) × (a + c - b) × (a + b - c) / (2 × a)2
  • Sostituisci h2 nella formula dell'area:
  • Area = 1/2 × a × h => Area2 = 1/4 × a2 × h2 =>
  • Area2 = 1/4 × a2 × (a + b + c) × (b + c - a) × (a + c - b) × (a + b - c) / (4 × a2) <=>
  • [1] Area2 = 1/16 × (a + b + c) × (b + c - a) × (a + c - b) × (a + b - c)
  • Utilizza il semiperimetro s = (a + b + c)/2 per esprimere i fattori della formula [1] sopra:
  • => a + b + c = 2 × s
  • => b + c - a = 2 × s - 2 × a = 2 × (s - a)
  • => a + c - b = 2 × s - 2 × b = 2 × (s - b)
  • => a + b - c = 2 × s - 2 × c = 2 × (s - c)
  • Riscrivi la formula [1]:
  • Area2 = 1/24 × 2 × s × 2 × (s - a) × 2 × (s - b) × 2 × (s - c) <=>
  • Area2 = s × (s - a) × (s - b) × (s - c) - Heron's Formula

Calcola l'area del triangolo

  • Area2 =

  • s × (s - a) × (s - b) × (s - c) =
  • 21,5 × (21,5 - 14) × (21,5 - 10) × (21,5 - 19) =
  • 21,5 × 7,5 × 11,5 × 2,5 =
  • 4.635,9375 ≈
  • 4.635,94

Area ≈ 68,087719156982 ≈ 68,09 unità quadrate

5. Calcola le tre altezze del triangolo

  • Definizione: L'altezza di un triangolo è un segmento di linea retta tracciato da un vertice, perpendicolare (con un angolo di 90 gradi) al lato opposto. Ogni triangolo ha tre altezze. Tutte e tre le altezze si incrociano sempre in un unico punto, chiamato ortocentro.
  • Le tre altezze del triangolo

    Le tre altezze del triangolo

  • Nel triangolo △ABC ha è l'altezza partendo dal vertice A, perpendicolare al lato BC, ha ⊥ BC. hb è l'altezza a partire dal vertice B, perpendicolare al lato AC, hb ⊥ AC. hc inizia dal vertice C, perpendicolare al lato AB, hc ⊥ AB. Si intersecano tutti nel punto H, l'ortocentro.
  • Conoscendo l'area e i lati del triangolo, possiamo calcolare le altezze ha, hb e hc dai vertici A, B e C ai lati a, b e c rispettivamente.
  • Partendo dalla formula classica dell’area:
  • Area = 1/2 × a × ha =>
  • ha = 2 × Area / a = 9,726817022426 ≈ 9,73
  • Area = 1/2 × b × hb =>
  • hb = 2 × Area / b ≈ 13,617543831396 ≈ 13,62
  • Area = 1/2 × c × hc =>
  • hc = 2 × Area / c ≈ 7,167128332314 ≈ 7,17

6. Calcola le lunghezze delle tre mediane del triangolo

  • Definizione: La mediana di un triangolo è un segmento che collega un vertice del triangolo al punto medio del lato opposto. Ogni triangolo ha tre mediane che si incontrano in un unico punto centrale, chiamato baricentro.
  • Le tre mediane del triangolo

    Le tre mediane del triangolo

  • Nel triangolo △ABC ma è la mediana che collega il vertice A al centro del lato BC, mb è la mediana che collega il vertice B al centro del lato AC e mc è la mediana che collega il vertice C al centro del lato AB. Si intersecano tutti nel punto G, il baricentro.
  • Il baricentro G divide le lunghezze delle tre mediane come segue:
  • AG/AM = BG/BP = CG/CN = 2/3
  • GM/AM = GP/BP = GN/CN = 1/3
  • GM/AG = GP/BG = GN/CG = 1/2

  • Teorema di Apollonio

  • == Dimostrazione del Teorema di Apollonio alla fine della sezione. ==
  • In un triangolo △ABC, di cui conosciamo le lunghezze dei lati "a", "b" e "c" - aventi rispettivamente i vertici opposti A, B e C, esiste una relazione tra le lunghezze dei lati e le lunghezze delle mediane ma, mb e mc, dove la mediana ma va dal vertice A al lato "a", mediana mb va dal vertice B al lato "b", e mc va dal vertice A al lato "c":
  • b2 + c2 = 2 × (ma2 + (a/2)2) =>
  • ma2 = (b2 + c2)/2 - (a/2)2= 181,5 =>
  • La mediana ma ≈ 13,472193585307 ≈ 13,47
  • a2 + c2 = 2 × (mb2 + (b/2)2) =>
  • mb2 = (a2 + c2)/2 - (b/2)2= 253,5 =>
  • La mediana mb ≈ 15,921683328091 ≈ 15,92
  • a2 + b2 = 2 × (mc2 + (c/2)2) =>
  • mc2 = (a2 + b2)/2 - (c/2)2= 57,75 =>
  • La mediana mc ≈ 7,599342076785 ≈ 7,6

  • Dimostrazione del Teorema di Apollonio

  • Dimostriamo il teorema di Apollonio utilizzando la teorema del coseno, che abbiamo dimostrato sopra, quando abbiamo calcolato le misure degli angoli.
  • Le tre mediane del triangolo

    Le tre mediane del triangolo

  • Sia la mediana AM, di lunghezza ma, a dividere il lato BC, di lunghezza "a", in due parti uguali, di lunghezza BM = CM = a/2. Anche AB = c, AC = b, BC = a.
  • Sia la misura dell'angolo ∡AMB = θ. Poiché due angoli su una retta sommati danno 180°, allora l'angolo adiacente ∡AMC = 180° - θ.
  • => cos(180° - θ) = - cos(θ)
  • Applica la teorema del coseno al triangolo △ABM, avendo cura di includere nella formula anche l'angolo ∡AMB = θ:
  • c2 = ma2 + (a/2)2 - 2 × ma × a/2 × cos(θ) =>
  • [1] c2 = ma2 + (a/2)2 - ma × a × cos(θ)
  • Applica la legge del coseno al triangolo △ACM, avendo cura di includere nella formula anche l'angolo ∡AMC = 180° - θ:
  • b2 = ma2 + (a/2)2 - 2 × ma × a/2 × cos(180° - θ)
  • cos(180° - θ) = - cos(θ)
  • La relazione precedente diventa:
  • [2] b2 = ma2 + (a/2)2 + ma × a × cos(θ)
  • Somma le due equazioni [1] e [2] insieme. I termini ma × un × cos(θ) e - ma × un × cos(θ) si annullano a vicenda:
  • b2 + c2 = 2 × (ma2 + (a/2)2)

7. Calcola il raggio del cerchio inscritto

  • Intro

  • La bisettrice di un angolo è una semiretta interna all'angolo, con l'origine al vertice, che forma con i lati dell'angolo due angoli congruenti. Qualsiasi punto appartenente alla bisettrice è equidistante da entrambi i lati dell'angolo.
  • Bisettrice di un angolo

    Bisettrice di un angolo

  • In ogni triangolo le bisettrici degli angoli sono concorrenti in un punto che è il centro del cerchio tangente ai lati del triangolo, chiamato cerchio inscritto nel triangolo. Questo è il cerchio più grande che si inserisce all'interno del triangolo.
  • Le bisettrici e il cerchio inscritto nel triangolo

    Le bisettrici e il cerchio inscritto nel triangolo

  • Nel triangolo △ABC, AA' è la bisettrice dell'angolo ∠BAC => ∠BAA' = ∠CAA' = ∠BAC / 2
  • BB' è la bisettrice dell'angolo ∠ABC => ∠ABB' = ∠CBB' = ∠ABC / 2
  • CC' è la bisettrice dell'angolo ∠ACB => ∠ACC' = ∠BCC' = ∠ACB / 2
  • Le bisettrici AA', BB' e CC' si intersecano nel punto O, che è il centro del cerchio inscritto nel triangolo. Perché sta succedendo questo?
  • O è un punto sulla bisettrice AA' quindi è equidistante dai segmenti AB e AC => [1] la distanza dal punto O al segmento AB è OP, dove OP ⊥ AB (⊥ è il simbolo dei segmenti perpendicolari), [2] la distanza dal punto O al segmento AC è ON, dove ON ⊥ AC e [3] OP ≅ ON.
  • O è un punto sulla bisettrice BB' quindi è equidistante dai segmenti AB e BC => [1] la distanza dal punto O al segmento AB è OP, dove OP ⊥ AB, [2] la distanza dal punto O al segmento BC è OM, dove OM ⊥ BC e [3] OP ≅ OM.
  • Dalle relazioni precedenti segue che OM = ON = OP = r, dove r è il raggio del cerchio inscritto nel triangolo

Calcola il raggio del cerchio inscritto

  • Per calcolare il raggio del cerchio inscritto nel triangolo, dividi l'area del triangolo per il suo semiperimetro:
  • r = Area / s
  • Dove:
  • r = raggio del cerchio inscritto nel triangolo
  • "s" è il semiperimetro del triangolo, già calcolato sopra
  • Perché questa formula? Come lo dimostriamo?
  • L'area del triangolo △ABC = area △OAB + area △OBC + area △OAC = 1/2 × OP × AB + 1/2 × OM × BC + 1/2 × ON × AC = 1/2 × r × AB + 1/2 × r × BC + 1/2 × r × AC = 1/2 × r × (AB + BC + AC) = 1/2 × r × Perimetro = Perimetro/2 × r = Semiperimetro × r =>
    r = Area / Semiperimetro = Area / s
  • r = 68,087719156982 / 21,5 ≈ 3,166870658464 ≈ 3,17

8. Calcola il raggio del cerchio circoscritto

  • Intro

  • La bisettrice perpendicolare di un segmento è la linea perpendicolare al segmento che passa per il suo centro. Qualsiasi punto appartenente alla bisettrice perpendicolare è equidistante dagli estremi del segmento.
  • Le bisettrici perpendicolari e la circonferenza circoscritta del triangolo

    Le bisettrici perpendicolari e la circonferenza circoscritta del triangolo

  • In ogni triangolo le bisettrice perpendicolare dei lati sono concorrenti in un punto che è il centro della circonferenza passante per i vertici del triangolo, detto circonferenza circoscritta del triangolo.
  • Nel triangolo △ABC, OM1 è la bisettrice perpendicolare del segmento BC => BM1 = CM1 = BC / 2 = a / 2, dove "a" è la lunghezza del segmento BC.
  • OM2 è la bisettrice perpendicolare del segmento AC => AM2 = CM2 = AC / 2 = b / 2, dove "b" è la lunghezza del segmento AC.
  • OM3 è la bisettrice perpendicolare del segmento AB => AM3 = BM3 = AB / 2 = c / 2, dove "c" è la lunghezza del segmento AB.
  • Le bisettrici perpendicolari OM1, OM2 e OM3 si intersecano nel punto O, che è il centro della circonferenza circoscritta al triangolo. Perché sta succedendo questo?
  • O è un punto sulla bisettrice perpendicolare OM1 => BM1 = CM1 = a/2, OM1 ⊥ BC (⊥ è il simbolo per segmenti o linee perpendicolari), e OM1 segmento comune => triangoli rettangoli △OBM1 ≅ △OCM1 => OB ≅ OC.
  • O è un punto sulla bisettrice perpendicolare OM2 => AM2 = CM2 = b/2, OM2 ⊥ AC, e segmento comune OM2 => triangoli rettangoli △OAM2 ≅ △OCM2 => OA ≅ OC.
  • Dalle relazioni precedenti segue che OA = OB = OC = R, dove R è il raggio del cerchio circoscritto al triangolo.

Calcola il raggio del cerchio circoscritto

  • Per calcolare R, il raggio del cerchio circoscritto al triangolo, applicare la formula:
  • R = a × b × c / (4 × Area)
  • Dove:
  • "a", "b" e "c" sono le lunghezze dei tre lati del triangolo
  • Perché questa formula? Come lo dimostriamo?
  • Il Teorema dei Seni stabilisce la relazione tra le lunghezze dei lati "a", "b" e "c" di un triangolo, ad esempio △ABC, e i seni degli angoli opposti, ∠A, ∠B e ∠C:
  • [1] a/sin(∠A) = b/sin(∠B) = c/sin(∠C) = 2 × R
  • R è il raggio della circonferenza circoscritta al triangolo △ABC.
  • Usiamo anche la Formula Trigonometrica dell'Area che abbiamo dimostrato sopra, quando abbiamo calcolato l'area:
  • [2] Area = 1/2 × b × c × sin(∠A)
  • Dalla relazione [1] si deduce che:
  • [3] sin(∠A) = a/(2 × R)
  • Sostituisci sin(∠A) nella relazione [2]:
  • Area = 1/2 × b × c × a/(2 × R) = a × b × c/(4 × R) =>
  • R = a × b × c/(4 × Area)
  • R = 14 × 10 × 19/(4 × 68,087719156982) ≈ 9,766812697409 ≈ 9,77

Risposta finale. Dati del triangolo risolto. Riepilogo:

Perimetro
43 unità
Semiperimetro
21,5 unità
Misura dell'angolo ∡A
0.79907715501293 ≈ 0.79908 radianti
45.783748487562 ≈ 45.784 gradi
45 gradi, 47 minuti e 1.49 secondi
Misura dell'angolo ∡B
0.53743902553768 ≈ 0.53744 radianti
30.792987908933 ≈ 30.793 gradi
30 gradi, 47 minuti e 34.76 secondi
Misura dell'angolo ∡C
1.8050764730388 ≈ 1.80508 radianti
103.423263603483 ≈ 103.423 gradi
103 gradi, 25 minuti e 23.75 secondi
Area
68,087719156982 ≈ 68,09 unità quadrate
Lunghezze delle altezze
ha = 9,726817022426 ≈ 9,73 unità
hb = 13,617543831396 ≈ 13,62 unità
hc = 7,167128332314 ≈ 7,17 unità
Lunghezze delle mediane
ma = 13,472193585307 ≈ 13,47 unità
mb = 15,921683328091 ≈ 15,92 unità
mc = 7,599342076785 ≈ 7,6 unità
Raggio, cerchio inscritto
3,166870658464 ≈ 3,17 unità
Raggio, cerchio circoscritto
9,766812697409 ≈ 9,77 unità
  • Il triangolo △ABC con le lunghezze dei lati: a = 14, b = 10, c = 19

    Il triangolo △ABC con le lunghezze dei lati: BC (a) = 14, AC (b) = 10, AB (c) = 19

Simboli utilizzati: + aggiunta, - sottrazione, × moltiplicazione, / divisione, = uguale, ≈ circa, => implicazione logica, ∠ angolo, ∡ angolo misurato, m(∡A) misura dell'angolo, △ triangolo, ⌒ arco di cerchio, ⊥ perpendicolare, ≅ congruenza, π il rapporto costante tra la circonferenza di un cerchio e il suo diametro, ° unità del valore misurato di un angolo e si chiama gradi, ∈ appartiene a, x2 x elevato alla seconda potenza oppure x^2 = x × x, sin(∠A) seno dell'angolo A, cos(∠A) coseno dell'angolo A, arccos(rapporto) arcocoseno del rapporto indicato.

Risolvi il triangolo LLL, operazioni simili:

» Risolvi il triangolo se le lunghezze dei suoi tre lati sono 22, 23 e 19. Calcolatrice per triangoli: angoli, area, (semi)perimetro, altezze, mediane, raggi dei cerchi

» Triangoli risolti dai visitatori date le lunghezze dei tre lati, operazioni eseguite mensilmente

» Mese 08, 2026 [Agosto]: Triangoli risolti date le lunghezze dei tre lati, operazioni eseguite nel mese di: Agosto




Come risolvere un triangolo conoscendo le lunghezze dei suoi tre lati?

Che cos'è un triangolo?

  • triangolo △ABC
    Triangolo △ABC
    Dati tre punti non collineari A, B, C, l'insieme formato da questi tre punti, insieme all'insieme di tutti i punti dei segmenti AB, BC e CA, è chiamato triangolo determinato dai punti A, B, C. Vedi la figura con la rappresentazione del triangolo △ABC.
  • Un triangolo è un insieme di punti nel piano che forma un poligono che ha tre vertici, A, B, C, tre lati, AB, BC, CA e tre angoli, ∠ABC, ∠BCA, ∠CAB (o, se non c'è confusione, ∠A, ∠B, ∠C).
  • Un vertice, nel nostro caso A, è il punto in cui si incontrano due lati: AB e AC. I tre vertici A, B e C sono uniti da tre segmenti, AB, BC e CA, chiamati lati, che formano tre angoli, ∠ABC, ∠BCA e ∠CAB, la cui somma è 180° (lo dimostriamo qui sotto).
  • I lati del triangolo sono definiti dalla lunghezza dei tre segmenti AB, BC e CA.
  • Un triangolo viene solitamente indicato con i suoi vertici, in ordine alfabetico: △ABC. Ma lo stesso triangolo può essere scritto anche come: △ACB, △BAC, △BCA, △CAB, △CBA, ovvero utilizzando tutte le combinazioni formate dalle tre lettere.
  • Triangolo △ABC e i lati a, b, c
    Triangolo △ABC e i lati a, b, c
    Nel triangolo △ABC l'angolo ∠A si oppone al lato BC e, reciprocamente, il lato BC si oppone all'angolo ∠A. Per le lunghezze dei lati di un triangolo △ABC, si usano solitamente le seguenti notazioni: a = BC, b = CA, c = AB.
  • Quando tutti e tre i lati hanno la stessa lunghezza, il triangolo si chiama triangolo equilatero, mentre un triangolo in cui solo due lati hanno la stessa lunghezza si chiama triangolo isoscele. Quando i lati di un triangolo hanno lunghezze diverse, si chiama triangolo scaleno.

Perimetro e semiperimetro di un triangolo

  • Perimetro: la somma delle lunghezze dei lati di un triangolo △ABC è chiamato perimetro del triangolo ed è indicato con:
    PABC = AB + BC + CA = c + a + b.
  • Semiperimetro: la metà della somma delle lunghezze dei lati di un triangolo △ABC è chiamato semiperimetro del triangolo ed è indicato con:
    pABC = (AB + BC + CA)/2 = (c + a + b)/2

Posizione di un punto rispetto a un triangolo

  • Un punto è detto interno di un triangolo se si trova all'interno di ciascun angolo del triangolo.
  • Un punto che non è né interno al triangolo né sui lati del triangolo è detto esterno del triangolo.

Tipi di triangoli in termini di angoli

  • triangolo rettangolo △ABC
    Triangolo rettangolo △ABC
    Un triangolo che ha un angolo di 90°, chiamato anche angolo retto, è chiamato triangolo rettangolo. Se l'angolo retto è A, allora i lati che formano l'angolo retto, AB e CA, si chiamano gambe. Il lato opposto all'angolo retto, BC, è chiamato ipotenusa. Un triangolo non può avere più di un angolo retto - perché la somma dei tre angoli di un triangolo deve essere 180° - se ci fossero due angoli retti misurerebbero già 90° + 90° = 180°, senza lasciare nulla per il terzo angolo.
  • triangolo scaleno acuto △ABC
    Triangolo scaleno acuto △ABC
    Un triangolo che ha tutti gli angoli acuti è chiamato triangolo acuto o scaleno acuto: ∠A < 90°, ∠B < 90°, ∠C < 90°.
  • triangolo scaleno ottuso △ABC
    Triangolo scaleno ottuso △ABC
    Un triangolo che ha un angolo ottuso, cioè maggiore di 90°, si chiama triangolo ottuso o triangolo scaleno ottuso: nel nostro caso, ∠A > 90°.
  • Triangolo equilatero △ABC
    Triangolo equilatero △ABC
    Un triangolo che ha tutti gli angoli uguali, detti anche congruenti, ∡A = ∡B = ∡C = 180°/3 = 60°, è chiamato triangolo equilatero. In un triangolo equilatero anche tutti i lati sono congruenti: AB ≅ BC ≅ CA.
  • Triangolo isoscele △ABC
    Triangolo isoscele △ABC
    Un triangolo che ha solo due angoli congruenti, ad esempio ∠B ≅ ∠C, è detto triangolo isoscele. In un triangolo isoscele sono congruenti anche i lati opposti agli angoli congruenti. Il terzo lato del triangolo isoscele è chiamato base del triangolo isoscele.

Regole specifiche dei triangoli

  • 1. La somma delle misure degli angoli di un triangolo è sempre pari a 180°. Vedere la figura successiva e la relativa dimostrazione.
  • dimostrazione: la somma delle misure degli angoli di qualsiasi triangolo è 180°
    Somma delle misure degli angoli in un triangolo
    Sia △ABC un triangolo. Costruiamo la parallela d attraverso A fino a BC e i punti D ed E situati sulla linea d, come in figura. I punti D, A ed E, essendo situati sulla stessa retta, sono collineari. Quindi DE ∥ BC ⇒ (1) ∠ABC ≅ ∠DAB - essendo angoli interni alterni per DE ∥ BC e la secante AB e (2) ∠ACB ≅ ∠CAE - essendo angoli interni alternati per DE ∥ BC e la secante AC. Da (1) e (2) si ottiene la relazione per la somma degli angoli del triangolo △ABC: ∠ABC + ∠BAC + ∠ACB = ∠DAB + ∠BAC + ∠CAE = ∠DAE = 180°.
  • triangolo impossibile: lati
    Triangolo impossibile: lati
    2. In un triangolo la somma delle lunghezze di due lati qualsiasi deve essere maggiore della lunghezza del terzo lato, altrimenti il ​​triangolo non potrebbe essere costruito. Nella figura successiva puoi vedere che la lunghezza del lato a è maggiore della somma delle lunghezze di b e c: a > b + c. In questo caso il triangolo △ABC non può essere costruito affatto.
  • triangolo impossibile: angoli
    Triangolo impossibile: angoli
    3. Un triangolo può avere un solo angolo maggiore o uguale a 90°.Se un triangolo avesse due angoli di almeno 90°, non rimarrebbe nulla per il terzo angolo, secondo la regola n. 1. Nel nostro caso, poiché ∡B = 90° e ∠C > 90°, i lati b e c non possono incontrarsi per formare il vertice A del triangolo △ABC.
  • angoli esterni
    Angoli esterni

    4. L'angolo adiacente e supplementare ad un angolo del triangolo si chiama angolo esterno del triangolo. Ogni triangolo ha tre paia di angoli esterni, sei angoli esterni in totale. Ogni angolo del triangolo ha due coppie di angoli esterni, congruenti tra loro, opposti al vertice: l'angolo ∠A ha due angoli esterni ∠1 e ∠2 - dove ∠1 ≡ ∠2, l'angolo ∠C ha due angoli esterni ∠3 e ∠4 - dove ∠3 ≡ ∠4, e l'angolo ∠B ha due angoli esterni angoli ∠5 e ∠6, dove ∠5 ≡ ∠6.

    La misura di un angolo esterno di un triangolo è uguale alla somma delle misure degli angoli ad esso non adiacenti, poiché ∠A + ∠B + ∠C = 180° e ∠A + ∠1 = 180°, ne consegue che: ∡1 = 180° - ∠A e ∡1 = ∠B + ∠C; allo stesso modo, ∡2 = 180° - ∠A e ∡2 = ∠B + ∠C; ∡3 = 180° - ∠C e ∡3 = ∠A + ∠B; ∡4 = 180° - ∠C e ∡4 = ∠A + ∠B; ∡5 = 180° - ∠B e ∡5 = ∠A + ∠C; ed infine ∡6 = 180° - ∠B e ∡6 = ∠A + ∠C.

    La somma delle misure di tutti gli angoli esterni di un triangolo è uguale a: ∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 + ∠5 + ∠6 = 2 × ∠1 + 2 × ∠3 + 2 × ∠5 = 2 × (∠1 + ∠3 + ∠5) = 2 × (180° - ∠A + 180° - ∠B + 180° - ∠C) = 2 × (3 × 180° - (∠A + ∠B + ∠C)) = 2 × (3 × 180° - 180°) = 2 × (2 × 180°) = 2 × 360° = 720°.

  • al lato maggiore si oppone l'angolo maggiore
    Lato maggiore opposto da un angolo maggiore
    5. Qualunque sia un triangolo con due lati non congruenti, al lato maggiore si oppone l'angolo maggiore. Se a > b e a > c, allora ∠A > ∠B e ∠A > ∠C.

Come risolvi il triangolo se conosci la lunghezza dei suoi tre lati?

  • Conoscendo le lunghezze a, b e c dei tre lati di un triangolo △ABC, dove a è il lato opposto all'angolo ∠A, b è il lato opposto all'angolo ∠B e c è il lato opposto all'angolo ∠C, ciascun angolo può essere calcolato utilizzando le formule seguenti.

La forma riorganizzata della Legge del Coseno (o Regola del Coseno)

  • Questa formula viene utilizzata per calcolare la misura di un angolo in qualsiasi triangolo quando si conoscono le lunghezze di tutti e tre i lati:
  • ∡A = arccos((b2 + c2 - a2) / (2 × b × c))
  • ∡B = arccos((a2 + c2 - b2) / (2 × a × c))
  • ∡C = arccos((a2 + b2 - c2) / (2 × a × b))
  • Esempio: conoscere i lati di un triangolo, a = 7, b = 5 and c = 9, calcola gli angoli ∡A, ∡B e ∡C del triangolo:
  • ∡A =
    arccos((52 + 92 - 72) / (2 × 5 × 9)) =
    arccos((25 + (9 + 7) × (9 - 7))) / 90) =
    arccos((25 + 16 × 2)) / 90) =
    arccos((25 + 32)) / 90) =
    arccos(57/90) =
    arccos(0.6333) =
    0.88498643446628 radianti =
    50.705987621249 gradi
  • ∡B =
    arccos((72 + 92 - 52) / (2 × 7 × 9)) =
    arccos((49 + (9 + 5) × (9 - 5))) / 126) =
    arccos((49 + 14 × 4)) / 126) =
    arccos((49 + 56)) / 126) =
    arccos(105/126) =
    arccos(0.8333) =
    0.58574584298534 radianti =
    33.560764670393 gradi
  • ∡C =
    arccos((72 + 52 - 92) / (2 × 7 × 5)) =
    arccos((49 + (5 + 9) × (5 - 9))) / 70) =
    arccos((49 + 14 × -4)) / 70) =
    arccos((49 + -56)) / 70) =
    arccos(-7/70) =
    arccos(-0.1) =
    1.6709637479565 radianti =
    95.739170477267 gradi
  • Verifica che la somma degli angoli ∡A + ∡B + ∡C = 180°.
  • ∡A = 50.705987621249°
    ∡B = 33.560764670393°
    ∡C = 95.739170477267°
    ∡A + ∡B + ∡C =
    50.705987621249 + 33.560764670393 + 95.739170477267 =
    180.00592276891° ≈ 180°